Ein Hoch auf die Zahl Pi

Zu Ehren der Zahl π wird am 14. März der sogenannte Pi-Tag gefeiert. Dieser Termin wurde gewählt, weil sich in der amerikanischen Schreibweise des Datums (3/14) bereits die ersten Ziffern der berühmten Kreiszahl verbergen. Bei π handelt es sich um eine irrationale Zahl, d.h. sie ist nicht als Bruch darstellbar und weist unendlich viele Nachkommastellen auf.

Durch die Konstante π wird das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises beschrieben. Den Wert von π benötigt man beispielsweise für die Berechnung des Umfangs (U = 2πr) oder der Fläche (A = πr2) eines Kreises. Den Zusammenhang der Zahl π mit dem Umfang und Flächeninhalt eines Kreises versteht man am besten, wenn man den ungefähren Wert von π selbst herleitet, sei es durch eine grobe visuelle Abschätzung oder durch ein mathematisches Approximationsverfahren.

Einen anschaulichen Näherungswert von
π erlangt man zum Beispiel, indem man eine Schnur um einen Kreis spannt und anschließend überprüft, wie häufig der Durchmesser des Kreises mit der Schnur abgemessen werden kann, nämlich mehr als dreimal. Somit ist der Umfang mehr als dreimal so lang wie der Durchmesser des Kreises.

Um die Fläche eines Kreises mit Radius r auf einen Blick abzuschätzen, könnte man drei Viertel des Kreises mit drei Quadraten der Kantenlänge r abdecken. Ein solches Quadrat hat die Fläche r2 und ist weit größer als der abgedeckte Kreisausschnitt. Die überstehenden Flächenabschnitte der drei Quadrate passen in das noch leere Kreissegment, wobei der Kreis dann immer noch nicht ganz abgedeckt ist. Auch diese Schätzung ist sehr ungenau, doch sie verdeutlicht, warum der Flächeninhalt eines Kreises mehr als dreimal r2 beträgt.

Die Bestimmung der Zahl π hat die Menschheit jahrtausendelang beschäftigt. Besonders hervorzuheben ist das von Archimedes entwickelte Verfahren, die Kreisfläche durch das Ein- und Umschreiben eines regelmäßigen Vielecks zu approximieren. Je mehr Ecken das Polygon aufweist, desto präziser kann der Flächeninhalt eines Kreises und somit die Zahl
π ermittelt werden. Durch die Verwendung eines 96-Ecks konnte Archimedes die ersten zwei Nachkommastellen von π berechnen:

Im Laufe der Zeit wurde der Archimedes-Algorithmus stetig verbessert. So gelang es Ludolph van Ceulen zu Beginn des 17. Jahrhunderts mithilfe eines 262-Ecks
π auf 35 Dezimalstellen genau zu berechnen, was der Kreiszahl auch den Namen Ludolphsche Zahl einbrachte.

Das geometrische Annäherungsverfahren wurde schließlich durch die Entwicklung unendlicher Reihen abgelöst, wie etwa durch die von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte Formel:

Diese Reihe konvergiert allerdings so langsam, dass allein für die Berechnung der ersten zwei Nachkommastellen bis zur Stelle k = 49 gerechnet werden muss.

Eine weitaus schneller konvergierende Reihe entdeckte der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan Anfang des 20. Jahrhunderts. Durch seine Formel können pro Iteration acht Nachkommastellen von π berechnet werden:

Im Zeitalter der Computer ist die Berechnung der Zahl π rasant vorangeschritten und kann heute auf mehrere Billionen Stellen genau bestimmt werden. Nicht, dass dieser Präzisionsgrad von irgendeinem praktischen Nutzen wäre, aber er beschert uns einen noch tieferen Einblick in die faszinierende Zahl π , die wir heute gebührend feiern wollen, vorzugsweise in einer pittoresken Umgebung mit Pizza, einem Pils und dem obligatorischen Stück Pie.

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